数学(文史类) 第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A?{1,2,3},B?{x|(x?1)(x?2)?0,x?Z},则A?B?( ) A.{1} B.{1,2} C.{0,1,2,3} D.{?1,0,1,2,3} 2.记sn为等差数列{an}的前n项和,若s9?45,a3?a8?12则a7等于( ) A.10 B.9 C.8 D.7
3.函数f(x)?sinx(x?[0,?]),在区间[0,?]上任取一点x0,则f(x0)?1的概率为( ) 221?? B. C. D. 3236?e0.54.已知a?ln,b?ln,c?e,则( )
33A.
A.a?c?b B.c?b?a C. c?a?b D.a?b?c 5.①已知a是三角形一边的边长,h是该边上的高,则三角形的面积是弧长1,半径r分别看出三角形的底边长和高,可得到扇形的面积
1ah,如果把扇形的21lr;②由1?12,1?3?22 2,1?3?5?32,可得到1?3?5???2n?1?n2,则①、②两个推理依次是( )
A.类比推理、归纳推理 B.类比推理、演绎推理 C. 归纳推理、类比推理 D.归纳推理、演绎推理 6.某几何体的三视图如图所示,则其体积为( )
A.207 B.216?9? C. 216?36? D.216?18? 2?x?0x?2y?3?7.设x,y满足约束条件?y?x,则的取值范围是( )
x?1?4x?3y?12?A.[3,11] B.[3,10] C. [2,6] D.[1,5]
8.执行如图所示的程序框图,若输出的S?88,则判断框内应填入的条件是( )
A.k?7 B.k?6 C. k?5 D.k?4
9.在平面直角坐标系xoy中,圆C的方程为x?y?8x?15?0,若直线y?kx?2上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C有公共点,则k的最小值是( ) A.?224535 B.? C. ? D.? 3453210.已知函数f(x)?sinwxcoswx?3coswx?3(w?0)的相邻两个零点差的绝对值为2?,则函数f(x)的图象( ) 45?245?B.可由函数g(x)?cos4x的图象向右平移
247?C. 可由函数g(x)?cos4x的图象向右平移
245?D.可由函数g(x)?cos4x的图象向右平移
6A.可由函数g(x)?cos4x的图象向左平移
个单位而得 个单位而得 个单位而得 个单位而得
11.如图,双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,A1,A2为双曲线的顶点,B1,B2为双曲
线虚轴的端点,F2为右焦点,延长B1A2与F2B2交于点P,若?B1PB2是锐角,则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A.(1,5?25?25?15?1) B.(,??) C. (,??) D.(1,) 222212.设函数y?f(x)在区间(a,b)的导函数为f?(x),f?(x)在区间(a,b)的导函数为f??(x),若在区间(a,b)上f??(x)?0恒成立,则称函数y?f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”,已知
f(x)?141332x?mx?x,若对任意的实数m满足|m|?2时,函数f(x)在区间(a,b)上1262为“凸函数”,则b?a的最大值为( )
A.4 B.3 C. 2 D.1
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.若与平面向量a?(?1,2)方向相反的单位向量为b,则b的坐标为 . 14.已知f(x)??是 .
15.已知四面体ABCD中,?BAC?60?,?BAD??CAD?90?,AB?3,AC?23其外接球的体积为
????(3a?1)x?4a,x?1?log,x?1xa是(??,??)上的减函数,那么a的取值范围
32?,则该四面体ABCD的棱AD? . 3??x2?2x,?2?x?0?16.已知函数f(x)??,若g(x)?|f(x)|?ax?a的图象与x轴有3个不1,0?x?2?ln?x?1同的交点,则实数a的取值范围是 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 在?ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知ctanC?3(acosB?bcosA).
(1)求角C;
(2)若点D在边BC上,且AD?CD?4,?ABD的面积为83,求边c的长.
18. 某机构组织语文、数学学科能力竞赛,按照一定比例淘汰后,颁发一二三等奖.现有某考场的两科考试成绩数据统计如下图所示,其中数学科目成绩为二等奖的考生有12人.
(1)求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数;
(2)用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的学生中各抽取5人,进行综合素质测试,将他们的综合得分绘成茎叶图,求样本的平均数及方差并进行比较分析;
(3)已知本考场的所有考生中,恰有3人两科成绩均为一等奖,在至少一科成绩为一等奖的考生中,随机抽取2人进行访谈,求两人两科成绩均为一等奖的概率. 19. 如图,四棱锥P?ABCD的底面ABCD是直角梯形,
AD//BC,AD?3BC?6,PB?62,点M在线段AD上,且MD?4,AD?AB,PA?平
面ABCD.
(1)求证:平面PCM?平面PAD;
(2)当四棱锥P?ABCD体积最大时,求四棱锥P?ABCD的表面积.
20. 已知椭圆C的左右顶点分别为A,B,A点坐标为(?2,0),P为椭圆C上不同于A,B的任意一点,且满足kAP?kBP??(1)求椭圆C的方程.
(2)设为椭圆C的右焦点,直线PF与椭圆C的另一角度为Q,PQ的中点为M,若
1. 2|OM|?|QM|,求直线PF的斜率.
21. 已知函数f(x)?ex?ax?1(a?1,e是自然对数的底数)的最小值是1?2ln2. (1)求实数a的值;
(2)若存在x0?1,使得不等式(x0?k)f?(x0)?x0?3?0成立,求正整数k的最小值. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程
12??x?a?2t在平面直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(a,1),其参数方程为?(t为参数,
??y?1?2ta?R),以O为极点,x轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为
?cos2??4cos????0.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)求已知曲线C1和曲线C2交于A,B两点,且|PA|?2|PB|,求实数a的值. 23.选修4-5:不等式选讲
已知不等式|2x?5|?|2x?1|?ax?1. (1)当a?1时,求不等式的解集; (2)若不等式的解集为R,求a的范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:CBACA 6-10:BACAB 11、12:DC 二、填空题 13. (11ln31525,) ,?) 14. [,) 15. 2 16. [733e55三、解答题
17.解:(1)由ctanC?3(acosB?bcosA)及正弦定理可得
sinCtanC?3(sinAcosB?sinBcosA),故sinCtanC?3sin(A?B),而
sinC?sin(A?B)?0,所以tanC?3,即C??3