第16讲 直角三角形
命题趋势 直角三角形是中考考查的1．了解直角三角形的有关概念，热点之一，题型多样，多以简单掌握其性质与判定． 题和中档难度题出现，主要考查2．掌握勾股定理与逆定理，并直角三角形的判定和性质的应能用来解决有关问题. 用，以及运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力. 考纲要求
知识梳理
一、直角三角形的性质
1．直角三角形的两锐角________． 2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的________． 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．
4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 二、直角三角形的判定
1．有一个角等于________的三角形是直角三角形． 2．有两角________的三角形是直角三角形．
3．如果三角形一边上的中线等于这边的________，则该三角形是直角三角形．
4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的________，那么这个三角形是直角三角形．
自主测试
1．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC:CA:AB＝5:12:13，则cos B＝( )
512512A． B． C． D． 1251313
2．如图，在△ABC中，DE是中位线，∠ABC的平分线交DE于F，则△ABF一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
3．下列各组数据分别为三角形的三边长：①2,3,4；②5,12,13；③2，3，4；④m2－n2，m2＋n2，2mn.其中是直角三角形的有( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
考点一、直角三角形的判定
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为边BC上的任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF的形状，并证明你的结论．
分析：连接AM，可得AM＝BM，然后证明△BFM≌△AEM，得到FM＝ME，∠EMF＝90°.
解：△MEF是等腰直角三角形．
连接AM，∵∠BAC＝90°，AM是斜边BC的中线， ∴MA＝MB＝MC，MA⊥BC. ∵AB＝AC，
∴∠B＝∠BAM＝∠MAE＝45°. ∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴∠AFD＝∠AED＝∠FAE＝90°， ∴四边形DFAE是矩形，∴FD＝EA. 又∵FB＝FD，∴FB＝EA， ∴△BFM≌△AEM(SAS)， ∴FM＝EM，∠BMF＝∠AME. ∵∠AMF＋∠BMF＝90°， ∴∠EMF＝∠AMF＋∠AME＝90°， ∴△MEF是等腰直角三角形．
方法总结 证明一个三角形是直角三角形的方法比较多，最简捷的方法就是求出一个角等于90°，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证得． 触类旁通1 具备下列条件的△ABC中，不能成为直角三角形的是( )
1
A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A＝90°－∠C
2
C．∠A＋∠B＝∠C D．∠A－∠C＝90° 考点二、直角三角形的性质 【例2】两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC.
(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)； (2)证明：DC⊥BE.
(1)解：图2中△ABE≌△ACD. 证明如下：
∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°. ∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE， 即∠BAE＝∠CAD. 又∵AB＝AC，AE＝AD，
∴△ABE≌△ACD.
(2)证明：由(1)△ABE≌△ACD知∠ACD＝∠ABE＝45°. 又∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°， ∴DC⊥BE.
方法总结 直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质外，还具有外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半，它的外心是斜边的中点，垂心是直角顶点等性质． 考点三、勾股定理及其逆定理
【例3】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
解：设CD长为x cm，由折叠得△ACD≌△AED. ∴AE＝AC＝6 cm，∠AED＝∠C＝90°，DE＝CD＝x cm. 在Rt△ABC中，AC＝6 cm，BC＝8 cm， ∴AB＝
AC2＋BC2＝
62＋82＝10(cm)．
∴EB＝AB－AE＝10－6＝4(cm)，BD＝BC－CD＝(8－x) cm， 在Rt△DEB中，由勾股定理得DE2＋BE2＝DB2. ∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3. ∴CD的长为3 cm.
方法总结 1．勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边． 2．勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形． 触类旁通2 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，CD＝13，CB＝12，求四边形ABCD的面积．
考点四、勾股定理及其逆定理的实际应用 【例4】如图所示，铁路上A，B两站(视为直线上两点)相距14 km，C，D为两村庄(可视为两个点)，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8 km，CB＝6 km，现要在铁路上建一个土特产品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
分析：因为DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，在AB上找一点可构成两个直角三角形，我们可想到通过勾股定理列方程进行求解．
解：设E站应建在距A站x km处，
根据勾股定理有82＋x2＝62＋(14－x)2，解得x＝6. 所以E站应建在距A站6 km处．
方法总结 勾股定理及其逆定理的实际应用，是把实际问题转化为数学问题，建立勾股定理或逆定理的数学模型．通过解决数学问题，使实际问题得以解决．
触类旁通3 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边的长分别为6 m，8 m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．
1．(2012广东广州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是( )
3612933A． B． C． D．
525442．(2012浙江湖州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，
则CD的长是( )
A．20 B．10
5
C．5 D．
2
