概率论与数理统计作业及解答

2024-04-16

概率论与数理统计

 

概率论与数理统计作业及解答

第一次作业

★1. 甲? 乙? 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹? 设事件A? B? C分别表示甲? 乙? 丙击中目标? 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E?{事件A,B,C最多有一个发生},则E的表示为

E?ABC?ABC?ABC?ABC;或?AB?AC?BC;或?AB?AC?BC; 或?ABACBC;或?ABC?(ABC?ABC?ABC).

(和A?B即并A?B,当A,B互斥即AB??时?A?B常记为A?B?) 2. 设M件产品中含m件次品? 计算从中任取两件至少有一件次品的概率.

1122CmCM?m?CmCMm(2M?m?1)?m 1?2或?2M(M?1)CMCM★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只? 计算以下事件的概率.

A?{8只鞋子均不成双}, B?{恰有2只鞋子成双}, C?{恰有4只鞋子成双}.

161414C86(C2)C8C7(C2)3280P(A)???0.2238,P(B)???0.5594, 66C16143C16143212C82C6(C2)30P(C)???0.2098. 6C16143★4. 设某批产品共50件? 其中有5件次品? 现从中任取3件? 求?

(1)其中无次品的概率? (2)其中恰有一件次品的概率?

321C45C45C5141999(1)3??0.724. (2)3??0.2526.

C501960C503925. 从1~9九个数字中? 任取3个排成一个三位数? 求?

(1)所得三位数为偶数的概率? (2)所得三位数为奇数的概率?

4(1)P{三位数为偶数}?P{尾数为偶数}?,

95

(2)P{三位数为奇数}?P{尾数为奇数}?,

9

45或P{三位数为奇数}?1?P{三位数为偶数}?1??.

996. 某办公室10名员工编号从1到10?任选3人记录其号码?求?(1)最小号码为5的概率?(2)最大号码为5的概率?

记事件A?{最小号码为5}, B?{最大号码为5}.

2C52C411(1) P(A)?3?;(2) P(B)?3?.

C1012C10207. 袋中有红、黄、白色球各一个?每次从袋中任取一球?记下颜色后放回?共取球三次?

求下列事件的概率:A={全红}?B={颜色全同}?C={颜色全不同}?D={颜色不全同}?E={无黄色球}?F={无红色且无黄色球}?G={全红或全黄}.

3A311183!2P(A)?3?,P(B)?3P(A)?,P(C)?3?3?,P(D)?1?P(B)?,

32799339 第1页 共32页

概率论与数理统计

112238P(E)?3?,P(F)?3?,P(G)?2P(A)?.

32727327

☆.某班n个男生m个女生(m?n?1)随机排成一列? 计算任意两女生均不相邻的概率.

☆.在[0? 1]线段上任取两点将线段截成三段? 计算三段可组成三角形的概率. 1 4第二次作业 1. 设A? B为随机事件? P(A)?0.92? P(B)?0.93? P(B|A)?0.85? 求?(1)P(A|B)? (2)P(A∪B)? (1) 0.85?P(B|A)?P(AB)P(AB)?,P(AB)?0.85?0.08?0.068,

P(A)1?0.92P(AB)?P(A)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.92?0.93?0.068?0.058,

P(AB)0.058??0.83.

P(B)1?0.93(2)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.92?0.93?0.862?0.988.

P(A|B)?

2. 投两颗骰子?已知两颗骰子点数之和为7?求其中有一颗为1点的概率. 记事件A?{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, B?{(1,6),(6,1)}. P(B|A)?2?1.

63★.在1—2000中任取一整数? 求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率? 记事件A?{能被5除尽}, B?{能被7除尽}.

400128557?2000?57?2000?P(A)??,取整?P(B)??,P(AB)?, ?285,?57,???200052000400200075?7????P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)

15757?1????0.686.

540020003. 由长期统计资料得知? 某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为4/15? 刮风(用B表示)的概率为7/15? 既刮风又下雨的概率为1/10? 求P(A|B)、P(B|A)、P(A?B)?

P(AB)1/103P(AB)1/103P(A|B)???,P(B|A)???,

P(B)7/1514P(A)4/15847119P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)????.

151510304? 设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2?若第一次落下未摔破?第二次落下时摔破的概率是7/10?若前二次落下未摔破?第三次落下时摔破的概率是9/10?试求落下三次而未摔破的概率.

记事件Ai={第i次落下时摔破}?i?1,2,3.

7??9?3?1??P(A1A2A3)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)??1???1???1???.

?2??10??10?2005? 设在n张彩票中有一张奖券?有3个人参加抽奖?分别求出第一、二、三个人摸到奖券

第2页 共32页

概率论与数理统计

概率.

记事件Ai={第i个人摸到奖券}?i?1,2,3.

1由古典概率直接得P(A1)?P(A2)?P(A3)?.

nn?111?, 或P(A2)?P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?nn?1nn?1n?211P(A3)?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)??.

nn?1n?2n1或 第一个人中奖概率为P(A1)?,

n21前两人中奖概率为P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?,解得P(A2)?,

nn31前三人中奖概率为P(A1?A2?A3)?P(A1)?P(A2)?P(A3)?,解得P(A3)?.

nn6? 甲、乙两人射击? 甲击中的概率为0?8? 乙击中的概率为0?7? 两人同时射击? 假定中靶与否是独立的?求(1)两人都中靶的概率? (2)甲中乙不中的概率? (3)甲不中乙中的概率?

记事件A={甲中靶}?B={乙中靶}.

(1) P(AB)?P(A)P(B)?0.7?0.7?0.56,

(2) P(AB)?P(A)?P(AB)?0.8?0.56?0.24, (3) P(AB)?P(B)?P(AB)?0.7?0.56?0.14.

★7? 袋中有a个红球? b个黑球? 有放回从袋中摸球? 计算以下事件的概率? (1)A?{在n次摸球中有k次摸到红球}? (2)B?{第k次首次摸到红球}?

(3)C?{第r次摸到红球时恰好摸了k次球}?

?a??b?(1) P(A)?C?????a?b??a?b?knkn?kakbn?k?C; n(a?b)kn?b?(2) P(B)????a?b?(3) P(C)?Cr?1k?1k?1aabk?1?; ka?b(a?b)rk?r?a??b??????a?b??a?b??Cr?1k?1arbk?r. k(a?b)80.求该射手射击一818?一射手对一目标独立地射击4次? 已知他至少命中一次的概率为次命中目标的概率?

80112?,q?,p?1?q?. 8181339? 设某种高射炮命中目标的概率为0.6? 问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以0.99的概率命中目标?

(1?0.6)n?1?0.99,0.4n?0.01,由0.45?0.01024,0.46?0.01,得n?6. ☆.证明一般加法(容斥)公式

设射击一次命中目标的概率为p,q?1?p.q4?1? 第3页 共32页

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P(?Ai)??P(Ai)??P(AiAj)?ni?1i?1i?jni?j?k?P(AAA)???(?1)ijkn?1P(?ni?1Ai).

证明 只需证分块Ai1?AikAik?1?Ain?Ai1,?,Aik只计算1次概率.(i1,?,in是1,?,n的一个排列?k?1,2,?,n.)分块概率重数为

Ai1,?,Aik中任取1个?任取2个???(?1)k?1任取k个?即

1Ck?Ck2???(?1)k?1Ckk?1? 11?Ck?Ck2???(?1)kCkk?(1?1)k?0. 将?,?互换可得对偶加法(容斥)公式

P(?Ai)??P(Ai)??P(Ai?Aj)?ni?1i?1i?jni?j?k?P(A?A?A)???(?1)ijkn?1P(?ni?1Ai).

☆.证明 若A? B独立? A? C独立? 则A? B∪C独立的充要条件是A? BC独立.

证明

P(A(B?C))?P(AB?AC)?P(AB)?P(AC)?P(ABC)?P(A)P(B)?P(A)P(C)?P(ABC) 充分性?:

P(A(B?C))?P(A)P(B)?P(A)P(C)?P(ABC),代入P(ABC)?P(A)P(BC) ?P(A)(P(B)?P(C)?P(BC))?P(A)P(B?C), 即A,B?C独立. 必要性?:

P(A(B?C))?P(A)P(B?C)?P(A)(P(B)?P(C)?P(BC))

?P(A)P(B)?P(A)P(C)?P(A)P(BC)?P(A)P(B)?P(A)P(C)?P(ABC) P(ABC)?P(A)P(BC),即A,BC独立.

☆.证明:若三个事件A、B、C独立,则A∪B、AB及A-B都与C独立. 证明 因为

P[(A?B)C]?P(AC?BC)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

?P(A)P(C)?P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?[P(A)?P(B)?P(A)P(B)]P(C)

?P(A?B)P(C)P[(AB)C]?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?[P(A)P(B)]P(C)?P(AB)P(C) P[(A?B)C]?P(AC?B)?P(AC)?P(ABC)?P(A)P(C)?P(A)P(B)P(C)

?[P(A)?P(AB)]P(C)?P(A?B)P(C)所以A∪B、AB及A-B都与C独立. 第三次作业

1? 在做一道有4个答案的选择题时? 如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测? 设他知道问题的正确答案的概率为p? 分别就p?0.6和p?0.3两种情形求下列事件概率? (1)学生答对该选择题? (2)已知学生答对了选择题?求学生确实知道正确答案的概率? 记事件A={知道问题正确答案}?B={答对选择题}.

1?p13p??, (1) 由全概率公式得P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?p?44413p13?0.67????0.7, 当p?0.6时?P(B)??444410 第4页 共32页

概率论与数理统计

13p13?0.319?????0.475. 444440P(AB)p4p(2) 由贝叶斯公式得P(A|B)???,

13pP(B)1?3p?444p4?0.66当p?0.6时?P(A|B)???,

1?3p1?3?0.674p4?0.312当p?0.3时?P(A|B)???.

1?3p1?3?0.3192? 某单位同时装有两种报警系统A与B? 当报警系统A单独使用时? 其有效的概率为0.70? 当报警系统B单独使用时? 其有效的概率为0.80.在报警系统A有效的条件下? 报警系统B有效的概率为0.84.计算以下概率? (1)两种报警系统都有效的概率? (2)在报警系统B有效的条件下? 报警系统A有效的概率? (3)两种报警系统都失灵的概率.

P(A)?0.7,P(B)?0.8,P(B|A)?0.84.

(1) P(AB)?P(A)P(B|A)?0.7?0.84?0.588,

P(AB)0.588??0.735, (2) P(A|B)?P(B)0.8当p?0.3时?P(B)?(3) P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)

?1?0.7?0.8?0.588?0.088.

☆.为防止意外? 在矿内同时设有两种报警系统A与B? 每种系统单独使用时? 其有效的概率系统A为0? 92? 系统B为0.93? 在A失灵的条件下? B有效的概率为0.85?? 求: (1)发生意外时? 两个报警系统至少有一个有效的概率? (2) B失灵的条件下? A有效的概率?

3? 设有甲、乙两袋? 甲袋中有n只白球? m只红球? 乙袋中有N只白球? M只红球? 从甲袋中任取一球放入乙袋? 在从乙袋中任取一球? 问取到白球的概率是多少? 记事件A={从甲袋中取到白球}?B={从乙袋中取到白球}. 由全概率公式得

P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)

?nN?1mNn?N(n?m)??.

n?mN?M?1n?mN?M?1(n?m)(N?M?1)

☆.设有五个袋子? 其中两个袋子? 每袋有2个白球? 3个黑球? 另外两个袋子? 每袋有1个白球? 4个黑球? 还有一个袋子有4个白球? 1个黑球? (1)从五个袋子中任挑一袋? 并从这袋中任取一球? 求此球为白球的概率? (2)从不同的三个袋中任挑一袋? 并由其中任取一球? 结果是白球? 问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少?

★4? 发报台分别以概率0?6和0?4发出信号 “·” 及 “?”? 由于通信系统受到于扰? 当发出信号 “·” 时? 收报台分别以概率0?8及0?2收到信息 “·” 及 “?”? 又当发出信号 “?” 时? 收报台分别以概率0?9及0?l收到信号 “?” 及 “·”? 求: (1)收报台收到 “·”的概率?(2)收报台收到“?”的概率?(3)当收报台收到 “·” 时? 发报台确系发出信号 “·” 的概率?(4)收到 “?” 时? 确系发出 “?” 的概率?

第5页 共32页

 


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