第12讲 二次函数的图象与性质
一、 知识清单梳理
知识点一：二次函数的概念及解析式 关键点拨与对应举例 例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么1.一次函数的定义 形如y＝ax＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数. 2a的取值范围是a≠0. 若已知条件是图象上（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a的三个点或三对对应≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：函数值，可设一般式；2.解析式 y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标. 若已知顶点坐标或对（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关称轴方程与最值，可设于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从顶点式；若已知抛物线而求出函数的解析式. 与x轴的两个交点坐标，可设交点式. 知识点二 ：二次函数的图象与性质 yyxO（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质图象 xOy=ax2+bx+c(a＞0) y=ax2+bx+c(a＜0) 法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比3.二次函开口 数的图对称象和性轴 质 顶点坐标 增减性 当x>?向上 向下 x＝ ?b 2a?b4ac?b2? ??,?4a??2abb④图象法：画出草时，y随x的增大而当x>?时，y随x的增大较；2a2a增大；当x＜?b2a时，y随x的而减小；当x＜?b时，y2a大小. 图，描点后比较函数值增大而减小. 随x的增大而增大. 失分点警示 （2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是4ac?bby最小＝. 最值 x=?4a2a，24ac?bx=?by最大＝. 4a2a，2否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解. 例：当0≤x≤5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为7 . 决定抛物线的开当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下. 当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左a 口方向及开口大小 某些特殊形式代数式的符号： ① a±b+c即为x=±1时，y 的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值. ③ 2a+b的符号，需判断对称 轴-b/2a与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-b/2a＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小. a、 b 决定对称轴边； （x=-b/2a）的位当b＝0时， -b/2a=0，对称轴为y轴； 置 当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边． 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 决定抛物线与y轴的交点的位置 3.系数a、b、c c 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. b－决定抛物线与x4ac 轴的交点个数 知识点三 ：二次函数的平移 2b－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点; b－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点; b－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点 2224.平移与解析式的关系 抛物线平移规律是“上 注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出加下减，左加右减”,左平移|k|个单位y=ax2的图象向左(h＜0)或向右(h＞0)平移|h|个单位y=a(x－h)2的图象向上(k＞0)或向下(k＜0)y=a(x－h)2＋k 的图象失分点警示：
