反比例函数 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关 -1系可以表示成 (k为常数，k≠0）的形式（或y=kx， k≠0），那么称y是x的反比例函数． k1、在反比例函数y=x中，因为x≠0，y≠0所以双曲线与坐标轴无限接近，但永不与x轴y轴 2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】 4、反比例函数中比例系数k的几何意义： k反曲线y=x（k≠0）上任意一点P向两坐标轴作垂线交于A,B 两线PA,PB与坐标轴围成的图形面积 ，即如图： AOBP= S△AOP= 【名师提醒：k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】 5．画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法；画反比例函数的图象要注意自变量的取值范围是x≠0，因此，不能把两个分支连接起来； （2）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以，画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势． 6. 反比例函数y=过双曲线y= 【名师提醒： 1、在反比例函数关系式中：k≠0、x≠0、y≠0 2、反比例函数的另一种表达式为y= （k是常数，k≠0） 3、反比例函数解析式可写成xy= k（k≠0）它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于 】 2．反比例函数的概念需注意以下几点： (1) k为常数，k≠0； kx（2） 中分母x的指数为1；例如y= 就不是反比例xk函数； (3)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数； （4）因变量y的取值范围是y≠0的一切实数． 3．反比例函数的图象和性质． k (k≠0)中比例系数k的几何意义,即xk(k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩x形面积为│k│。 7. 用待定系数法求反比例函数解析式时，可设解析式为 k因为反比例函数y=x（k≠0）中只有一个被定系数 所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法 一、 反比例函数的应用 二、 解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用同象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的 （二）：【课前练习】 1.下列函数中，是反比例函数的为（ ） 2A. y?2x；B. y??(1)、反比例函数ky=x（k≠0）的图象是 ____它有两个分支，关于 对称 k(2)、反比例函数y=x（k≠0） 当k>0时它的图象位于 ,___象限，在每一个象限内曲线从左到右下降，y随x的增大而 当k<0时，它的图象位于____,___象限，在每一个象限内，曲线从左到右上升，y随x的增大而 。 【名师提醒： 1x1；C. y?；D. y? 2x2x?32. 反比例函数y?1?2m中，当x＞0时，y随x的增x123. 如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= k (k≠0）的图象交于M、N两点． x ⑴求反比例函数和一次函数的解析式； ⑵根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围． 4. 如图，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线．直线AB与双曲线的一个交点为点C，CD⊥x轴于D，OD=2OB=4OA=4．求一次函数和反比例函数的解析式． 大而增大，则m的取值范围是（ ） A. m＞；B. m＜2；C. m＜；D. m＞2 12k3. 函数y= 与y=kx+k在同一坐标系的图象大致是图中x的（ ） 4. 已知函数 y=（m－1）xm22?m?1，当m=_____时，它的图象是双曲线． 5.如图是一次函数y1?kx?b和y反比例函数y2?m的图象，观察图x-2o3象写出y1＞y2时，x的取值范围 二：【经典考题剖析】 n?n?1y?(2n?1)x 1.设 2x 5. 某厂从 起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具数据如下表： ⑴请你认真分析表中数据，从你所学习 过的一次函数、二次函数和反比例函数 中确定哪个函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式； ⑵按照这种变化规律，若 已投人技改资金5万元． ①预计生产成本每件比 降低多少万元？ ②如果打算在 把每件产品成本降低到3．2万元，则还需投人技改资金多少万元（结果精确到0．01万元） 三：【课后训练】 （1）当n为何值时，y与x是正比例函数，且图象经过一、三象限 （2）当n为何值时，y与x是反比例函数，且在每个象限内y随着x的增大而增大 2.有x的正比例函数、反比例函数、一次函数各一个，已知x?4,y?8是一次函数和正比例函数的一组公共的对应值，而x??2,y?2是一次函数和反比例函数的一组公共的对应值 （1）求这三个函数的解析式，并求x??1.5时，各函数的函数值是多少？ （2）作出三个函数的图象，用图象法验证上述结果 ky?x(k为常数)下列说法正确的是（） 1.关于A．一定是反比例函数； B．k≠0时，是反比例函数 C．k≠0时，自变量x可为一切实数； D．k≠0时, y的取值范围是一切实数 2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生产x只（x取正整数）这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（ ） x5000y?y?5000；B．3x； A．C．y?50003y?x；D．500x 量×（实际电价一成本价）】 k9. 反比例函数y=x的图象经过点 A（－2，3）⑴求出这个反比例函数的解析式； ⑵经过点A的正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y= 15m2?13. 已知点（2，2）是反比例函数y=x图象上一点，则此函数图象必经过点（ ） A．（3，－5）； B．（5，－3）； C．（－3，5）； D．（3，5） 4. 面积为3的△ABC，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是图中的（ ） kx的图象，还有其他交点吗？若有，求出坐标；若没有，说明理由 10. 如图所示，点P是反比例函数y一上图象上的一点，过P作x 轴的垂线，垂足为E．当P在其图象上移动时，△POE的面积将 如何变化？为什么？对于其他反比例函数，是否也具有相同的 规律？ 【重点考点例析】 k5. 已知反比例函数y=x的图象在第一、三象 限，则对于一次函数y=kx—k．y的值随x值的增大而__________________. x3?m的图象在二、6. 已知反比例函数y=（m－l）四象限，2则m的值为_________. k7. 已知：反比例函数y=x和一次函数y=mx+n的图象一个交点为 A（－3，4）且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的解析式． 8. 某地上年度电价为0．8元，年用电量为 1亿度，本年度计划将电价调至 0.55—0.75元之间，经测得，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度） 与(x－0.4）元成反比例，又当 x=0．65时，y=0．8． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若每度电的成本价为0．3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20％【收益=用电 考点一：反比例函数的同象和性质 例1 （2012?张家界）当a≠0时，函数y=ax+1与函数y?例函数mx的图象在同一平面直角坐标系中是（ ） y?ax 在同一坐标系中的图象可能是（ ） A．A． B． B．
C．C． D． D． y?2．（2012?内江）函数 思路分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象． 点评：本题考查了一次函数与二次函数的图象和性质，解题的关键是明确在同一a值的前提下图象能共存． 例2 （2012?佳木斯）在平面直角坐标系中，反比例函1?xx的图象在（ ） A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限 3．（2012?佛山）若A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例a2?a?2y?x数 图象的两个分支分别在（ ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 思路分析：把a2-a+2配方并根据非负数的性质判断出是恒大于0的代数式，再根据反比例函数的性质解答． 点评：本题考查了反比例函数图象的性质，先判断出y?函数2x的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是y1 y2． 考点二：反比例函数解析式的确定 a2-a+2的正负情况是解题的关键，对于反比例函数y?kxy?例4 （2012?哈尔滨）如果反比例函数经过点（-1，-2），则k的值是（ ） A．2 B．-2 C．-3 D．3 k?1x的图象（k≠0）：（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内． 例3 （2012?台州）点（-1，y1），（2，y2），（3，y3）均y?在函数6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2 思路分析：先根据反比例函数的解析式判断出此函数图象所在的象限，再根据各点的坐标判断出各点所在的象限，根据函数图象在各象限内点的坐标特点解答． 点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出函数图象所在象限是解答此题的关键． 对应训练 1．（2012?毕节地区）一次函数y=x+m（m≠0）与反比思路分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（-1，-2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值． 点评：此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点． 对应训练 4．（2012?广元）已知关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2y?有唯一的实数解，且反比例函数1?bx的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（ ） 31y??y?x B．x A．y?C．对应训练 5．（2012?株洲）如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数22y??x D．x y?2?1,y?xx的图象分别交于B、C两点，A为y轴上的任意一点，则△ABC的面积为（ ） 考点三：反比例函数k的几何意义 例5 （2012?铁岭）如图，点y?A在双曲线4x上， 3tA．3 B．2 3C．2 D．不能确定 考点四：反比例函数与一次函数的综合运用 例6 （2012?岳阳）如图，一次函数y1=x+1的图象与反y?点B在双曲线kx（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（ ） A．12 B．10 C．8 D．6 思路分析：先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k的符号，再延长线段BA，交y轴于点E，由于AB∥x轴，所以AE⊥y轴，故四边形AEOD是矩形，由于点A比例函数y2?2x的图象交于A、B两点，过点作AC⊥xy?在双曲线4x上，所以S矩形AEOD=4，同理可得S矩形由S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD即可得出k的值． OCBE=k，y?解：∵双曲线kx（k≠0）上在第一象限， ∴k＞0， 延长线段BA，交y轴于点E， ∵AB∥x轴， ∴AE⊥y轴， ∴四边形AEOD是矩形， 轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D， 连接AO、BO，下列说法正确的是（ ） A．点A和点B关于原点对称 B．当x＜1时，y1＞y2 C．S△AOC=S△BOD D．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大 思路分析：求出两函数式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断A；根据图象的特点即可判断B；根据A、B的坐标和三角形的面积公式求出另三角形的面积，即可判断C；根据图形的特点即可判断D． ?y?x?1①??2y?②?x?解：A、， 2∵把①代入②得：x+1=x， 解得：x1=-2，x2=1， 代入①得：y1=-1，y2=2， ∴B（-2，-1），A（1，2）， ∴A、B不关于原点对称，故本选项错误； B、当-2＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，故本选项错误； y?∵点A在双曲线4x上， ∴S矩形AEOD=4， 同理S矩形OCBE=k， ∵S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD=k-4=8， ∴k=12． 故选A． 点评：本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即y?反比例函数kx图象中任取一点，过这一个点向x轴11C、∵S△AOC=2×1×2=1，S△BOD=2×|-2|×|-1|=1， ∴S△BOD=S△AOC，故本选项正确； D、当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
