32中等数学2017中国香港代表队选拔考试中图分类号:0424.79文献标识码：A文章编号：1005-6416(2019)08-0032-04
第一次
1?求所有的正整数n,使得n+32n+8为平方数.
2.求所有以非负整数为系数的多项式/,使得/(1)=7且/(2)= 2017.
3.某校有1200名学生，每名学生恰参加了佥个学会.已知对于任意的23名学生,他们均参加了某个相同的学会，而不存在一个学会有全部的1200名学生参加.求k的最小可能值.
4.求出无穷多个正整数m,使得对于每
严-1_1
个机'数爲计均为整数?
5.在一个有2017人的人群中，任意两人均恰有一个相同的朋友(不包括该两个人)?确定在这群人中拥有最多朋友的人与拥有最少朋友的人所拥有的朋友数目之差的最小可能值.
6.已知△ABC的垂心H与三个顶点及外心0均不重合?记M、N、P分别为△HBC、AHCA^HAB的外心.证明：直线
CP、OH共点.
第二次
1.设“ABC满足AB=AC,圆厂位于△4BC外，且与直线4C切于点C,点D在圆厂上，使得的外接圆与圆厂内切，线段4D与圆厂的第二个交点为E.证明:BE与圆厂相切.
2.有三堆金币，分别有a、b、c(a、b、c 工2015)枚.每次可选择如下的一种操作：
(1)选择有偶数枚金币的一堆,将其金币平分并移至其余两堆中；
(2)选择至少有2017枚的奇数枚金币的一堆，移除其中的2017枚金币，并为其余
x i+i a b\
WO.
于是，对所有的1EV4,均有2.
1(兀1+%2+兀3+%4)
x]%2X3X4
—+一+—+一
%2%3x4x x b a1
=---W——+--1,
兀1+兀2+兀3+兀4a b
当且仅当光1二a,先2=b,%3=Q,%4=6或先1=6,久2=a,x3=b,x4=a时，上式等号成立.
从而，所求的最大值为-+T-1-
a b
综上，所求的最小值和最大值分别为1和斗-1.
a b
(曹湘江提供)
2019年第8期33
两堆各增添1009枚金币.
假设有足够多的备用金币?求所有的三元有序数组(a,b,c),使得经过有限次操作后,可使其中一堆有至少2OH?。"枚金币.
3.求所有的函数/：R->R,使得对任意的实数％』,均有
f(f(xy-x))+/(^+y)=#(^)+/(y)-
4.在A ABC中，/为内心,M a、M b、％分别为BC、CA、AB的中点,H a、H b、H c分别为过点4、B、C作对边的高的垂足?记厶表示与△ABC的外接圆切于点B的直线&为l b沿
BI反射后所得的直线?设M a M c与l b交于点P b,H a H c与交于点Q b.类似定义Sc、Qc-若P b Q b与PcQc交于点证明：RB=RC.
参考答案
第一次
1.设“2+32“+8=m3(m>0).则
(n+m+16)(n-m+16)
=248=23x31.
注意到，“+m+16与“-m+16同奇偶.
于是,n+m+16=124或62.
相应地,n-m+16=2或4.
解得n=47或17.
2.满足题意的多项式只能是
/(%)=%'°+X9+??-+A；5+1.①
事实上，设g&)是以非负整数为系数的多项式，且满足g(2)=2017.
若g&)的某项/的系数大于2,定义
h(x)=g(x)-2x k
则虹2)=g(2),且仇(l) 重复上面的操作，可找到系数为0或1 的多项式7(%),满足 g(2)=2017,且g(l) 而当%=2时，值为2017且系数为0或1的多项式唯一，即式①. 当％=1时，/(1)=7. 因此，式①为满足题意的唯一多项式. 3.2=23. 先证明必W23. 用皿2,…,认表示所有的学生，G， C24表示不同的学会. 设学生S,(1MW24)参加了G,???￡“，c i+x,-,c u学会.其余的学生均与学生5参加了同一个学会?此时，每23名学生均参加了某个相同的学会,而不存在一个学会有全部的1200名学生参加. 再证明：心23. 设学生T参加的学会为 因为所有的1200名学生没有参加共同的学会，所以，对每一个1WiWk,均存在学生T,没有参加学会M t. 于是，学生T,l\,…,Tk没有参加共同的学会?从而/M23. 综上/=23. 4.设p为12k+l(k^2)型素数. 令m=2P-1. 由费马小定理知 2P=2(mod p) =>m=2p-l=l(mod p) =>p I(m-1) =>(2P-1)l(2m-'-1) =>ml(2m_1-1). 又12l(p-l),于是， (212-1)l(2p_1-1). 容易验证131(212-1). 故131(2"-2)=>13l(m-l). 于是,8191=213-1整除2心-1. 从而，只需证m与8191互素. 设p=13Z+s(0Ws<13). 34中等数学 显然,p>13,s#0. 注意到,8191=213-1整除 213/+,-25=(2p-1)-(2*-1). 而0<2'-1<8191，贝I」8191I m. 又8191为素数，故m与8191互素. 5.设ct与6不是朋友.若％是a的朋友，则％与6恰有一个相同的朋友y. 考虑a的朋友到b的朋友的映射: %宀儿容易验证这是一个双射?于是，任意非朋友的两个人的朋友数相等. 现对正整数仁考虑恰有k个朋友的人构成的集合及其补集.则分属于这两个集合的两个人为朋友?从而，至少有一个集合的元 素个数小于2.故要么有一人与所有人均是朋友，要么所有人均有相同的朋友数. 假设每个人均恰有k个朋友.考虑所有两个人的朋友数，得C；。"=2017C；,此时无解. 于是,有一人5与所有的人均是朋友?而 对1WiWl008,a2i与是朋友，此为满足题意的一种情况. 因此,所求为2016-2=2014. 6.如图1. 图1 因为OM丄BC且BO=BM,所以， OM=2()D=AH. 又OM//AH,则AM与OH的交点为OH 的中点. 类似地,BN、CP均与OH交于OH的中点. 第二次 1.如图 2. ab2=ac2=ae-ad =>△ABE s^ADB =>z AEB=Z ABD. 设加与圆厂的第二个交点为F,联结EF. 由两圆相切的性质知 AB//EF =>Z AEB=Z ABD=Z EFD =BE与圆厂相切. 2.答案:除(2015,2015,2015)之外的所有满足a、6、cM2015的整数组(a,b,c). 对于上述所有的情况，证明总可以进行使金币总数增加的操作.因而，当金币总数超过3x20172017时，则有一堆至少有2O172017枚金币. 考虑满足 S二a+b+cM3x 2015+1 的整数组(a,b,c). 注意到，操作(1)不改变总数S,操作(2)使S增加 1. 2019年第8期35 记［幻表示不超过实数力的最大整数. 首先,至少有一堆有［y］>2015枚金 币.从而，总可以进行(1)或(2)的操作. 反证法. 假设有一种满足SM6046的情况，使得S不再增加.于是，只能一直进行操作(1).这表明，每一堆的金币数要么为偶数要么至多为2015. 可假定有一空堆为0,否则，对偶数枚金币的一堆操作(1)可得空堆?接着，对具有最少金币数的非空堆不断进行操作(1),每一次操作使得具有最少金币数的非空堆的金币数减半?有限次操作后,可得最少金币数为奇数?此时，设三堆的金币数为0、％、y,其中，％为奇数且0<%W2015 因为％+yM6046,所以，031. 由于只能进行操作(1)』必为偶数，则 032. 一次操作(1)后，金币数变为0、专、%+于? 注意到，才M2016且S=x+y为奇数. 于是，存在大于2016的奇数枚金币堆,矛盾. 因此，当SM6046时，金币总数可通过操作一直增加. 3.令“0,得到/(/(0))=/(0). 由y的任意性知 /(0)=0=/(/(0))=0. 令y=1,得/(%+1)=/(%)+/(1). 再用y+1代替y得 )+/&+y) =j/(%)+/(%)+/(y)? 上式由的对称性得 由此,f(x)=cx(c=0,1). 经检验,/(%)=0,/(%)=%均为所求. 4.记厂b表示在点B处退化的点圆，厂为AABC的九点圆?如图3. 图3 由M c M a//AC n Z M c BP b=Z ACB=Z P b M a B n P r B2=P h M c-P h M a n点P B在圆厂b与厂的根轴上. 又Z BH c H a=Z ACB =Z abp b=Z Q r BH、, 类似地,Q b B2=Q b H a?Q b H c，点Q b在圆几与厂的根轴上. 于是,P b?为圆几与厂的根轴. 类似地,PcQc为圆厂c与厂的根轴? 从而，交点R为圆厂B、厂C、厂的根心. 因此,肘=RC2=>RB=RC. (熊斌提供胡志广翻译)
