专题训练一元二次方程的解法
?方法一形如(mx＋n)2＝p(m≠0，p≥0)的一元二次方程可用直接开平方法
1．若8x2－16＝0，则x的值是________．
2．一元二次方程(x＋3)2－4＝0的根为______________________________________．3．方程2(x＋3)2＝8的解是()
A．x1＝2，x2＝－2 B．x1＝5，x2＝1
C．x1＝－1，x2＝－5 D．x1＝1，x2＝－7
4．用直接开平方法解下列方程：
(1)3x2－1＝5；(2)4(x－1)2－9＝0.
?方法二二次项系数为1，且一次项系数为偶数的一元二次方程，用配方法求解较简便
5．用配方法解方程x2＋6x－5＝0，配方结果正确的是()
A．(x＋3)2＝14 B．(x－3)2＝14
C．(x＋3)2＝4 D．(x－3)2＝4
6．用配方法解一元二次方程x2－6x－4＝0，下列变形正确的是()
A．(x－6)2＝－4＋36 B．(x－6)2＝4＋36
C．(x－3)2＝－4＋9 D．(x－3)2＝4＋9
7．一元二次方程x2－8x＝48可表示成(x－a)2＝48＋b的形式，则a＋b的值为() A．20 B．12 C．－12 D．－20
8．用配方法将二次三项式a2－4a＋3变形，结果是()
A．(a－2)2－1 B．(a＋2)2－1
C．(a＋2)2－3 D．(a－2)2－6
9．用配方法解下列方程：
(1)x2－6x＝7；(2)x2＋4x－5＝0.
?方法三易化成一般形式且系数的绝对值较小的一元二次方程，用公式法求解较简便
10．用公式法解下列方程：
(1)2x2－6x－1＝0；(2)6x2－13x－5＝0；
(3)x2－7x＝－5；(4)y(y－3)＝1.
?方法四一边是0且另一边又易分解成两个一次因式的积的一元二次方程，用因式分解法求解较简便
11．方程(x＋1)(x－3)＝0的解是()
A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3 12．下列方程，适合用因式分解法求解的是()
A．x2－4 2x＋1＝0 B．2x2＝x－3
C．(x－2)2＝3x－6 D．x2－10x－9＝0
13．方程(x＋2)(x－3)＝x＋2的解是__________________________________．
14．用因式分解法解下列方程：
(1)(x－5)(x＋6)＝0；(2)2(x－3)＝3x(x－3)；(3)3(x－5)2＝2(x－5)．
? 方法五 如果在方程中出现一些相同的代数式，把它们用某一个字母代替后能形成一个较简单的一元二次方程，这样的方程可用换元法求解
15．解方程(x －1)2－5(x －1)＋4＝0时，我们可以将x －1看成一个整体，设x －1＝y ，则原方程可化为y 2－5y ＋4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4.当y ＝1，即x －1＝1时，解得x ＝2；当y ＝4，即x －1＝4时，解得x ＝5.所以原方程的解为x 1＝2，x 2＝5.利用这种方法求得方程(2x ＋5)2－4(2x ＋5)＋3＝0的解为( )
A ．x 1＝1，x 2＝3
B ．x 1＝－2，x 2＝3
C ．x 1＝－3，x 2＝－1
D ．x 1＝－1，x 2＝－2
16．已知实数a ，b 满足(a 2＋b 2)2－2(a 2＋b 2)＝8，则a 2＋b 2的值为(
) A ．－2 B ．4
C ．4或－2
D ．－4或2
17．若(a ＋b )(a ＋b －2)－8＝0，则a ＋b 的值为( )
A ．－4或2
B ．3或－32
C ．－2或4
D ．3或－2
参考答案
1．±2 [分析] 8x 2＝16，x 2＝2，x ＝±2.
2．x 1＝－5，x 2＝－1 [分析] (x ＋3)2＝4，x ＋3＝±2，x ＋3＝－2或x ＋3＝2， ∴x 1＝－5，x 2＝－1.
3．C [分析] ∵2(x ＋3)2＝8，
∴(x ＋3)2＝4，则x ＋3＝2或x ＋3＝－2，
解得x 1＝－1，x 2＝－5.
故选C .
4．解：(1)移项，得3x 2＝6，x 2＝2，
即x 1＝2，x 2＝－ 2.
(2)整理，得(x －1)2＝94.根据平方根的意义，得x －1＝±32，即x 1＝52，x 2＝－12
. 5．A
6．D [分析] 先将常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数一半的平方，
即x 2－6x ＝4，x 2－6x ＋9＝4＋9，()x －32
＝4＋9.故选D .
7．A [分析] x 2－8x ＝48，
x 2－8x ＋16＝48＋16，
(x －4)2＝48＋16，
∴a ＝4，b ＝16，则a ＋b ＝20.
故选A .
8．A
9．解：(1)配方，得x 2－6x ＋9＝7＋9，(x －3)2＝16.
由此可得x －3＝±4，x 1＝7，x 2＝－1.
(2)移项，得x 2＋4x ＝5.
配方，得x 2＋4x ＋4＝5＋4，(x ＋2)2＝9.
由此可得x ＋2＝±3，x 1＝－5，x 2＝1.
10．解：(1)a ＝2，b ＝－6，c ＝－1.
Δ＝b 2－4ac ＝(－6)2－4×2×(－1)＝44＞0.
方程有两个不相等的实数根x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝6±442×2＝6±2114
，
即x 1＝3＋112，x 2＝3－112
. (2)a ＝6，b ＝－13，c ＝－5，
Δ＝b 2－4ac ＝(－13)2－4×6×(－5)＝289＞0.
方程有两个不相等的实数根x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝13±2892×6＝13±1712
， 即x 1＝52，x 2＝－13
. (3)移项，得x 2－7x ＋5＝0.
a ＝1，
b ＝－7，
c ＝5.
Δ＝b 2－4ac ＝(－7)2－4×1×5＝29＞0.
方程有两个不相等的实数根x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝7±292×1＝7±292
， 即x 1＝7＋292，x 2＝7－292
. (4)方程化为y 2－3y －1＝0.
a ＝1，
b ＝－3，
c ＝－1.
Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×(－1)＝13＞0.
方程有两个不相等的实数根y ＝－b±b 2－4ac 2a ＝3±132×1＝3±132
， 即y 1＝3＋132，y 2＝3－132
. 11．C
12．C [分析] 由(x －2)2＝3x －6，得(x －2)2＝3(x －2)，(x －2)2－3(x －2)＝0，(x －2)(x －2－3)＝0，(x －2)(x －5)＝0，
∴x 1＝2，x 2＝5.
故选C .
13．x 1＝－2，x 2＝4 [分析] 移项，得(x ＋2)(x －3)－(x ＋2)＝0.提取公因式，得(x ＋2)(x －4)＝0，即x ＋2＝0或x －4＝0.解得x 1＝－2，x 2＝4.
14．解：(1)x －5＝0或x ＋6＝0，
∴x 1＝5，x 2＝－6.
(2)移项，得2(x －3)－3x(x －3)＝0.
提取公因式，得(x －3)(2－3x)＝0.
于是得x －3＝0或2－3x ＝0，
x 1＝3，x 2＝23
. (3)移项，得3(x －5)2－2(x －5)＝0.
提取公因式，得(x －5)(3x －15－2)＝0，
(x －5)(3x －17)＝0.
于是得x －5＝0或3x －17＝0，
x 1＝5，x 2＝173
. 15．D [分析] (2x ＋5)2－4(2x ＋5)＋3＝0，设2x ＋5＝y ，则原方程可化为y 2－4y ＋3＝0， 解得y 1＝1，y 2＝3.
当y ＝1，即2x ＋5＝1时，解得x ＝－2；
当y ＝3，即2x ＋5＝3时，解得x ＝－1.
所以原方程的解为x 1＝－1，x 2＝－2.故选D .
16．B [分析] 设a 2＋b 2＝x ，则原方程可化为x 2－2x ＝8，x 2－2x －8＝0，解得x 1＝4，x 2＝－2.因为平方和是非负数，所以a 2＋b 2的值为4.
17．C [分析] 设a ＋b ＝t ，则原方程可化为t(t －2)－8＝0，即(t ＋2)(t －4)＝0，解得t ＝－2或t ＝4，即a ＋b 的值为－2或4.故选C .
