3．(2012浙江宁波)勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )
A．90 B．100 C．110 D．121
4．(2012山东烟台)一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果∠ADF＝100°，那么∠BMD为________°.
5．(2012四川巴中)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式c2－a2－b2＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为__________．
6．(2012重庆)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB＝2，求△ABC的周长．(结果保留根号)
1．如图所示，将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，则三角板的最大边的长为( )
A．3 cm B．6 cm C．32cm D．62cm
1
2．在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a＋c＝2b，c－a＝b，则△ABC是( )
2
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
3．一个直角三角形两边的长分别为15,20，则第三边的长是( ) A．57 B．25 C．57或25 D．无法确定
4．如图，在Rt△ABC中，以三边AB，BC，CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则( )
A．S1＝S2 B．S1＜S2 C．S1＞S2 D．无法确定
5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重
CE
合，折痕为DE，则的值是( )
BC
24771 B． C． D． 732436．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，CD＝25，则BE的长为__________．
A．
7．如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为__________．
8．如图，已知点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA.
(1)求证：DE平分∠BDC；
(2)若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD.
参考答案
导学必备知识 自主测试
1．C ∵BC2＋CA2＝AB2，∴∠C＝90°，∴cos B＝2．B 3．D 探究考点方法 触类旁通1．D
触类旁通2．解：在Rt△ABD中，BD＝
AD2＋AB2＝42＋32＝5，
在△BCD中，CD＝13，CB＝12，BD＝5，
∴CB2＋BD2＝CD2.∴∠DBC＝90°.
1111
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△DBC＝AB·AD＋BC·BD＝×3×4＋×12×5＝6＋30＝36.
2222触类旁通3．解：在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得，AB＝10，扩充部分为Rt△ACD，扩成等腰三角形ABD，应分以下三种情况：
AC2＋BC2＝
BC5
＝. AB13
(1)如图1，当AB＝AD＝10时，可求得CD＝CB＝6，故△ABD的周长为32 m. (2)如图2，当AB＝BD＝10时，可求得CD＝4，由勾股定理得AD＝△ABD的周长为(20＋45) m.
(3)如图3，当AB为底时，设AD＝BD＝x，则CD＝x－6，由勾股定理得(x－6)2＋82＝x2，2580则x＝，故△ABD的周长为m.
33
AC2＋CD2＝45，故
品鉴经典考题
1．A 根据题意画出相应的图形，如图所示：
在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12， 根据勾股定理得：AB＝
AC2＋BC2＝15.
过点C作CD⊥AB，交AB于点D，
11
又S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
22AC·BC9×1236
∴CD＝＝＝，
AB155
36
则点C到AB的距离是. 5
2．C 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，则CD的长是5.
3．C 如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
所以，四边形AOLP是正方形， 边长AO＝AB＋AC＝3＋4＝7，
所以，KL＝3＋7＝10，LM＝4＋7＝11， 因此，矩形KLMJ的面积为10×11＝110. 故选C.
4．85 ∵∠ADF＝100°，∠EDF＝30°，∴∠MDB＝180°－∠ADF－∠EDF＝180°－100°－30°＝50°，∴∠BMD＝180°－∠B－∠MDB＝180°－45°－50°＝85°.
5．等腰直角三角形 由题意得：c2－a2－b2＝0，a－b＝0，∴c2＝a2＋b2，a＝b，则△ABC的形状为等腰直角三角形．
6．解：∵△ABD是等边三角形， ∴∠B＝60°.
∵∠BAC＝90°，∴∠C＝180°－90°－60°＝30°， ∴BC＝2AB＝4.
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝
BC2－AB2＝
42－22＝23，∴△ABC的周长为AC
＋BC＋AB＝23＋4＋2＝6＋23. 研习预测试题 1．D
1
2．A 由a＋c＝2b，c－a＝b，
2
53
可得c＝b，a＝b，于是得a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．
44
3．C 4．A
5．C 由折叠性质可知，AE＝BE， 设CE为x，则BE＝8－x. 在Rt△BCE中，62＋x2＝(8－x)2，
7
7CE47
所以x＝.故＝＝. 4BC624
6．42 ∵点D是AB的中点，∠ACB＝90°，DE⊥AC，
11
∴CD＝AB，DE＝BC，∴AB＝45，BC＝4.
22
1
在Rt△ACB中，AC＝AB2－BC2＝8，∴CE＝AC＝4.
2
∵CE＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴BE＝42. 31
7． 根据题意易知CD＝AC＝2，AD＝DE＝(2)2＝2，EF＝AE＝22，AF＝FG＝222
11
×2＝4，AG＝42，所以所求图形的面积S＝S△ABC＋S梯形ACDE＋S梯形AEFG＝×1×1＋×(2
22
1131
＋22)×2＋×(22＋42)×22＝＋3＋12＝.
222
8．证明：(1)在等腰Rt△ABC中， ∵∠CAD＝∠CBD＝15°， ∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°. ∴BD＝AD.∴△BDC≌△ADC. ∴∠DCA＝∠DCB＝45°.
