证明：（截长法）
在AB上截取AN＝AC连接PN , 在△APN和△APC中
NBPDCM图6?1∵
?AN?AC(辅助线的作法)???1??2(已知)?AP?AP(公共边)?
∴△APN≌△APC （SAS）
∴PC＝PN （全等三角形对应边相等）
∵在△BPN中，有 PB－PN＜BN （三角形两边之差小于第三边） ∴BP－PC＜AB－AC
证明：（补短法） 延长AC至M，使AM＝AB，连接PM， 在△ABP和△AMP中
?AB?AM(辅助线的作法)???1??2(已知)?AP?AP(公共边) ∵ ?
∴△ABP≌△AMP （SAS）
∴PB＝PM （全等三角形对应边相等）
又∵在△PCM中有：CM＞PM－PC(三角形两边之差小于第三边)
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∴AB－AC＞PB－PC。
七、延长已知边构造三角形：
例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B， 求证：AD＝BC
分析：欲证 AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，
E ∵AD⊥AC BC⊥BD （已知）
∴∠CAE＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE与△CAE中
??E??E(公共角)???DBE??CAE(已证)?BD?AC(已知) ∵?
ABOC ∴△DBE≌△CAE （AAS）
D ∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形对应边相等） 图7?1 ∴ED－EA＝EC－EB 即：AD＝BC。
（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）
八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 例如：如图8-1：AB∥CD，AD∥BC 求证：AB=CD。
分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。 证明：连接AC（或BD）
∵AB∥CD AD∥BC （已知）
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等） 在△ABC与△CDA中 AD ∵
??1??2(已证)??AC?CA(公共边)??3??4(已证)?13
4B2 ∴△ABC≌△CDA （ASA）
∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）
图8?1C
九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E 。求证：BD＝2CE 21教育名师原创作品
分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA，CE交于点F。 F ∵BE⊥CF （已知）
∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直的定义） EA在△BEF与△BEC中，
D12BC图9? 1全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | www.xsjjyw.com
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∵
??1??2(已知)??BE?BE(公共边)??BEF??BEC(已证)?
1∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=2CF （全等三角形对应边相等）
∵∠BAC=90° BE⊥CF （已知）
∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90° ∴∠BDA＝∠BFC 在△ABD与△ACF中
??BAC??CAF(已证)???BDA??BFC(已证)?AB＝AC(已知) ?
∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD＝2CE
十、连接已知点，构造全等三角形。
例如：已知：如图10-1；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。
分析：要证∠A＝∠D，可证它们所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若连接BC，则△ABC和△DCB全等，所以，证得∠A＝∠D。2·1·c·n·j·y 证明：连接BC，在△ABC和△DCB中
?AB?DC(已知)??AC?DB(已知)?BC?CB(公共边)?ADO ∵
∴△ABC≌△DCB (SSS)
∴∠A＝∠D (全等三角形对应边相等)
BC图10?1
十一、取线段中点构造全等三有形。
例如：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。 分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。www-2-1-cnjy-com 证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN中 ∵
?AN?DN(辅助线的作法)???A??D(已知)?AB?DC(已知)?A
ND∴△ABN≌△DCN （SAS）
∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC （全等三角形对应边、角相在△NBM与△NCM中
BM图11?1C等）
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∵
?NB＝NC(已证)??BM＝CM(辅助线的作法)?NM＝NM(公共边)?
∴△NMB≌△NCM，(SSS) ∴∠NBC＝∠NCB （全等三角形对应角相等）∴∠NBC＋∠ABN ＝∠NCB＋∠DCN 即∠ABC＝∠DCB。
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巧求三角形中线段的比值
例1. 如图1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：解：过点D作DG//AC，交BF于点G 所以DG：FC＝BD：BC
因为BD：DC＝1：3 所以BD：BC＝1：4 即DG：FC＝1：4，FC＝4DG
因为DG：AF＝DE：AE 又因为AE：ED＝2：3 所以DG：AF＝3：2
FC。
即 所以AF：FC＝：4DG＝1：6
例2. 如图2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD
解：过点C作CG//DE交AB于点G，则有EF：GC＝AF：AC 因为AF＝FC 所以AF：AC＝1：2
