已知：如图2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ,CD⊥AB，垂足为D，CAB交CD于F，过F作FH//AB交BC于H。求证CF=BH。21世纪教ECD图2-5AE平分∠
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AC D E EFH
BFCBAD图2-6（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形
图2-7从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
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已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：
A1DH=2（AB-AC） 21*cnjy*com
分析：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。
已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE求证：BD=2CE。 分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。
例3．已知：如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。 求证：AM=ME。
分析：由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EA⊥AF，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。
已知：如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM
BEBDHC图示3-1FAE⊥BE.此垂线
D图3-2C角平分
AMBFDCNE图3-31⊥AD交AD延长线于M。求证：AM=2（AB+AC）
分析：题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作△ABD关于AD的对称△AED，
11然后只需证DM=2EC，另外由求证的结果AM=2AE（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可尝试作△ACM关于CM的对
F称△FCM，然后只需证DF=CF即可。
CnDB练习：
已知：在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE是∠M图3-4BAC的平分线，且CE⊥AE于E，连接DE，求DE。2-1-c-n-j-y
已知BE、BF分别是△ABC的∠ABC的内角与外角的平分线，AF⊥BF于F，AE⊥BE于E，连接EF分
1别交AB、AC于M、N，求证MN=2BC
（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线
有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。
CHDEAFGBBCAI图4-1图4-2
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例4 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。
1 D A 2
例5 如图，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求证：∠A+∠C=180。 A B
例6 如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。
练习：
1. 已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC。求证：△ABC是直角三角形。 A
A
2．已知：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC⊥AC
3．已知CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD B
A 1 2 C
D C
B
D
C
C
E
B C B
E
4．已知：如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BC=AB+AD B C D
三 由线段和差想到的辅助线
A D
B C A D
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口诀：
线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：
1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。
在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如： 已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明：（法一）
A将DE两边延长分别交AB、AC于M、N，
在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1） 在△BDM中，MB+MD>BD；（2）
DEMN在△CEN中，CN+NE>CE；（3）
由（1）+（2）+（3）得：
AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE
∴AB+AC>BD+DE+EC （法二：图1-2）
延长BD交AC于F，廷长CE交BF于G，在△ABF和△GFC中有：
AB+AF>BD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）…（1） GF+FC>GE+CE（同上）（2） DG+GE>DE（同上）（3） 由（1）+（2）+（3）得：
B图1?1AGDEFC和△GDE
B图1?2ACEGAB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE
D∴AB+AC>BD+DE+EC。
在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接
FC的位置上，两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角B图2?1小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：
例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC。
分析：因为∠BDC与∠BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置；
证法一：延长BD交AC于点E，这时∠BDC是△EDC的外角， ∴∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∴∠BDC>∠BAC 证法二：连接AD，并廷长交BC于F，这时∠BDF是△ABD的 外角，∴∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD，∴∠BDF+ ∠CDF>∠BAD+∠CAD，即：∠BDC>∠BAC。
